Trigonometrische Substitution

Folgender Plot zeigt eine Übersicht der sogen. Generalsubstitution, zum Lösen von Integralen des Typs    ∫f(sin(x), cos(x), tan(x))dx

Die Winkelbezeichnungen habe ich dabei, um rasch ein TikZ-Bild zu erstellen,  nach Augenmaß gesetzt.

Wer es professionell machen möchte, kann hier schauen:

Wie setze ich am besten die Winkelbeschriftung bei selbstgezeichneten Winkeln?

Namenlos-11a

(Klicke auf das Bild)

\documentclass[margin=5mm]{standalone}
%\documentclass[a5paper, landscape]{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc, backgrounds}

\usepackage{amsmath, amssymb
}
% \pagecolor{olive!50!yellow!50!white}

%===========
\begin{document}
%===========

\def\scala{2.5}
\tikzstyle{background rectangle}=
[thick,draw=black, fill=white, rounded corners]

\begin{tikzpicture
}[show background rectangle, >=latex, font=\footnotesize, scale=\scala]

%Koordinaten
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (L) at ($({cos(50)},{0})$);
\coordinate (P) at ($({cos(50)},{sin(50)})$);
\coordinate (Q) at (-1,0);
\coordinate (U) at ($({0},{tan(50/2)})$);
\coordinate (U1) at (-0.5,0.5);
\coordinate (U2) at ($({0},{tan(50/2)/2})$);
\coordinate (T) at ($({1},{tan(50)})$
);
\coordinate (F) at (1,0);

%Einheitskreisbogen
\draw[very thin] ([shift=(-55:1)]O) arc (-55:225:1); %Bogen mit Zentrum (0,0)

%Strecken
%Koordinatensystem:
\draw[thin, ->] (-1.25,0) -- (1.25,0) node[]{$$};
\draw[thin, ->
] (0,-1.0) -- (0,1.25) node[]{$$};
\draw[
] (1,2pt/\scala) -- (1,-2pt/\scala) node[right=5pt, below]{$
1$};
\draw[] (-1,2pt/\scala) -- (-1,-2pt/\scala) node[left=7.5pt, below]{$
-1$};
\draw[] (2pt/\scala,1) -- (-2pt/\scala,1) node[left=5pt, above]{$
1$
};

%Radius
\draw[] (O) -- (P) node[midway, below, sloped]{$$};

%Hilfslinie
\draw[] (Q) -- (P) node[]{$$};


%tan x/2
\draw[very thick] (O) -- (U) node[midway, right, yshift=7.5pt, xshift=-2.5pt]{$\mathbf{u}$};

\draw[very thin, shorten >=2.0pt, shorten <=4.5pt] (U1)--([yshift=2.5pt]U2) node[above=-6pt, pos=0, xshift=2.5pt]{$u = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$
};

%cos
\draw[very thick] (O) -- (L) node[midway, below, xshift=7.5pt]{$\cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2}$};

%sin
\draw[very thick] (P) -- (L) node[fill=white!99!black, align=left, midway, right=-3pt, yshift=4.5pt]{$\sin(x)$ \\ \tiny$=\!\frac{2u}{1+u^2}$};
\draw[very thick] (P) -- (L);

%tan:
\draw[very thick] (T) -- (F) node[midway, right]{$\tan(x) = \frac{2u}{1-u^2}$};

\draw[densely dashed,shorten >= -10pt] (P) -- (T) node[]{$$
};

%Winkel
\draw[very thin] ([shift=(0:0.25)]O) arc (0:50:0.25) node[left=-2pt, below=2pt]{$x$};

\draw[very thin] ([shift=(0:0.5)]Q) arc (0:25:0.5) node[xshift=-0.4cm, yshift=-0.35cm]{$x/2$
};

%Hilfswinkel
%\draw[very thin] ([shift=(205:0.4)]P) arc (205:230:0.4) node[xshift=0.15cm, yshift=0.4cm]{$\varrho$};
%\draw[<->, very thin] ([shift=(50:0.25)]O) arc (50:180:0.25) node[xshift=0.0cm, yshift=0.5cm]{$\chi$};

\draw[very thin] ([shift=(90:0.15)]L) arc (90:180:0.15) node[xshift=0.25cm, yshift=0.15cm]{\Large$\cdot$};

%Punkte
\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(O)} node[left=5pt, below]{$$};
\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(L)} node[left]{$
$};
\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(P)} node[above]{$
$};
\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(Q)} node[above=5pt, left]{$
$};
\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(U)} node[below=5pt, right]{$
$};
\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(T)} node[below=5pt, right]{$
$};
\draw[] plot[mark=*, mark size=1.5pt/\scala, mark options={fill=white}] coordinates{(F)} node[below=5pt, right]{$
$
};

%Infobox
\node[draw] at (3.5,0) {$%
\begin{array}{lll}
u = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right), & x = 2 \cdot \arctan(u) & \\ \\
\sin(x) = \dfrac{2u}{1+u^2},
& \cos(x) = \dfrac{1-u^2}{1+u^2},
& \tan(x) = \dfrac{2u}{1-u^2} \\ \\
dx = \dfrac{2}{1+u^2} ~ du
\end{array}
$
};

%Überschrift
\node [xshift=2ex,yshift=-0.5ex,overlay,very thick, draw=black, fill=lightgray!80,rounded corners,above right] at (current bounding box.north west){ Generalsubstitution (Trigonometrische Substitution) };

\end{tikzpicture
}
%===========
\end{document}
%===========

4 Kommentare zu “Trigonometrische Substitution

  1. cis 21. Juli 2014 at 14:54 Reply

    Irgendwas ist beim Code schiefgegangen – es hat viele Leerzeilen gesetzt :(

    • Clemens 21. Juli 2014 at 15:16 Reply

      Du kannst LaTeX-Code einfach zwischen [cce lang="latex"]...[/cce] posten. Dann sieht alles normal aus. Dazu solltest Du den Editor aber wahrscheinlich von HTML auf Text umstellen.

  2. cis 21. Juli 2014 at 15:28 Reply

    Ach Mann, ja diese HTML-Ansicht hat mir die ganzen Leerzeilen reingemacht. Diese Autoformate sind nicht im Sinne des TeX-Nutzers :()

  3. Stefan 21. Juli 2014 at 17:11 Reply

    Ja, WordPress ist da leider eigenmächtig. Und es frisst führende Leerzeichen, es sei denn, es ist <pre>-formatierter Code. Ich habe extra das Codecolorer-Plugin modifiziert, dass es enthaltene pre-Tags nicht mit ausgibt. Es funktioniert also ohne Probleme:

    [cce lang=”latex”]
    <pre>…
    …<pre>[/cce]

    Das “überlebt” auch den visuellen Editor. So ist es auch in Deinem ersten Beitrag. Danke für die schönen Beispiele!

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