Spritzkuchen in Space

Heute habe ich einen Plot überarbeitet, um ihn auf TeXnique.fr zu stellen. Also, der sollte ungefähr so aussehen:

 

Spritzring
(Foto von Guido Draheim).

Also wie ein Spritzkuchen, auch Spritzring genannt. Nur, hm, mathematischer und digitaler.

Wie zeichnet man das?

Erstmal einen Querschnitt überlegen. In Polarkoordinaten ergibt die Sinus-Funktion sin(x) einen Kreis, sin(3x) sind drei Blätter, wir geben noch ein bisschen Radius (1,25) als Mittelstück. Das ergibt die Funktion sin(3x) + 1.25 in Polarkoordinaten:

Plot in 2d

Den betten wir in den Raum ein, etwa in der xy-Ebene mit z=0 als (x,y,z)(t) = ( cos(t)(sin(3t)+1.25), sin(t)(sin(3t) + 1.25), 0 ):

Plot in 3d

Oder anders gedreht:

Plot mit festem Wert in 3d

Wir können geradeaus im Raum schieben, wenn wir beispielsweise in der xz-Ebene zeichnen und mit linearem y verschieben: (x,y,z)(t) = ( cos(t)(sin(3t)+1.25), t, sin(t)(sin(3t)+1.25) ). Das sieht im Raum dann so aus:

Linearer Plot in 3d

Doch wir wollen ja drehen. Im Raum im Kreis gedreht, verwenden wir eine Torus-Abbildung, etwa:

x(t,s) = (2+cos(t))cos(s+pi/2)
y(t,s) = (2+cos(t))sin(s+pi/2)
z(t,s) = sin(t)

Und das verknüpfen wir wir mit unserer Funktion:

x(t,s) = (6+(sin(3t)+1.25)cos(t))cos(s)
y(t,s) = (6+(sin(3t)+1.25)cos(t))sin(s)
z(t,s) = (sin(3t)+1.25)sin(t)

Hier ein Schnitt davon, nur im Halbkreis rotiert:

Rotiert in 3d

Hier das gesamte Torus-basiert gedrehte Bild der Ursprungsfunktion:

Voll rotiert

Und nun der Twist. Wir können das Ganze noch verdrehen, indem wir im Funktions-Argument ein Vielfaches von t bzw. y addieren und durch mit wachsendem y eine Drehung erreichen:

Verdrehter torus

Mathematik ist erledigt, jetzt noch bisschen Farbe und Schick dazu. Ok, jetzt endlich mal Code:

% Mit LuaLaTeX übersetzen, weil die Berechnungen zu aufwendig für pdfLaTeX sind
\RequirePackage{luatex85}% Nur solange die standalone-Klasse noch nicht kompatibel zum neuesten LuaTeX ist
\documentclass{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \begin{axis}[axis equal,
      hide axis,
      /tikz/background rectangle/.style = {
        left color    = black,
        right color   = black!20,
        shading angle = 135,
      },
      show background rectangle
   
]
    \addplot3[
      surf,
      shader      = flat,
      miter limit = 1,
      domain      = 0:360,
      y domain    = 0:360,
      samples     = 100,
      samples y   = 70,
      z buffer    = sort,
      colormap/hot2,
   
]
    ( {(6+(sin(3*(x+3*y))+1.25)*cos(x))*cos(y)},
      {(6+(sin(3*(x+3*y))+1.25)*cos(x))*sin(y)},
      {((sin(3*(x+3*y))+1.25)*sin(x))} );
  \end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document
}

Und das ergibt:

Spritzkuchen in Space

Alle Codes und weitere Erklärungen sind hier:

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